屈出律在西辽内部崛起并最终夺取皇位的过程如下：

1. 投靠西辽：屈出律是乃蛮部太阳汗的儿子，在蒙古灭乃蛮部时逃到西辽，得到了西辽皇帝耶律直鲁古的庇护，并被收为义子，甚至娶了公主晃忽为妻[1]。

2. 建立信任与势力：屈出律在西辽逐渐建立了自己的势力，召回了自己的旧部，并且利用有利地位拉拢了西辽的许多重要大臣与将领[2]。

3. 军事行动与叛乱：屈出律先是击败了西辽军队，并劫掠了耶律直鲁古位于乌兹根的府库，随后进攻西辽首都虎思斡耳朵，但在真兀赤被耶律直鲁古击败。之后，屈出律返回叶密立，图谋再次进攻[3]。

4. 夺取皇位：1211年，屈出律趁耶律直鲁古出征之际，在后方发动叛乱，联合花剌子模推翻了耶律直鲁古，夺取了西辽的皇位。但他没有称帝，只是称菊儿汗，这是西辽君主的草原封号[4]。

5. 统治与灭亡：屈出律的残暴统治激起了西辽百姓的反抗，没有得到广泛的支持。1218年，蒙古帝国发起攻辽战役，屈出律在巴达哈伤山地被哲别率领的蒙古军捕杀，西辽随之灭亡[5]。

以上信息整理自维基百科、百度百科等来源，详细记录了屈出律从投靠西辽到最终夺取皇位并导致西辽灭亡的过程[1][2][3][4][5]。

参考来源： [1] 屈出律_百度百科 [2] 屈出律生平简介 - 爱上历史 [3] 西辽 - 全知识 [4] 当前最新：耶律大石凭借2000人建立西辽，西辽是如何灭亡的 ... [5] 内蒙古草原文化保护发展基金会 - 内蒙在线