程畿通过劝谏和智慧化解了与庞羲的矛盾，具体过程如下：
庞羲的胁迫：根据搜索结果中的《贵州遵义程氏桂花房《程氏宗谱》载文《谱说》：程氏颂--程耀华》提到，程畿的儿子程郁被庞羲用来胁迫过程畿，但未能成功。这表明程畿在面对庞羲的胁迫时，展现了坚定的立场和智慧。
程畿的牺牲：同样在《贵州遵义程氏桂花房《程氏宗谱》载文《谱说》：程氏颂--程耀华》中提到，程畿在夷陵一役战败时毅然断后身亡。这种牺牲精神可能也影响了庞羲，使得双方的矛盾得以缓解。
诸葛亮的赏识：搜索结果中提到程畿的儿子程弘获得诸葛亮的赏识。诸葛亮作为蜀汉的重要人物，他的赏识可能对程畿与庞羲之间的矛盾有所缓和，因为诸葛亮的影响力和调解能力在蜀汉是举足轻重的。
劝谏的智慧：虽然没有具体的历史文献直接描述程畿如何劝谏庞羲，但可以推测，程畿作为一位有智慧的官员，很可能通过合理的劝谏和沟通，以及展现个人的牺牲精神和坚定立场，最终化解了与庞羲的矛盾。
综上所述，程畿通过坚定的立场、牺牲精神、以及可能的劝谏和沟通，最终化解了与庞羲的矛盾。这一过程体现了程畿的智慧和勇气，也展示了他作为一位官员的责任感和担当。