日本在甲午战争后取得其第一个殖民地的过程如下：
甲午战争爆发：1894年7月，中日甲午战争爆发，这是一场清朝与大日本帝国之间的大规模海陆联合战争。来源
《马关条约》的签订：1895年4月，中日双方签署《马关条约》，根据条约规定，中国割让台湾及所有附属岛屿给日本。来源
日本对台湾的控制：通过《马关条约》，日本获得了其第一块海外殖民地——台湾，从而开始了对台湾的殖民统治。来源
经济与军事扩张：甲午战争后，日本不仅获得了新的领土，还从中国得到了价值1亿两白银的战利品和2.3亿两白银的赔款，这笔巨额赔款相当于日本当时年财政收入的7倍，极大地推动了日本的经济发展和军事扩张。来源
综上所述，日本通过甲午战争和《马关条约》的签订，取得了其第一个殖民地——台湾，这标志着日本对外扩张的开始，并为其后续的军事和经济扩张奠定了基础。