海屯一世在蒙古草原之行中获得的重要诏书和权利包括：
蒙古大汗蒙哥赐予的诏书：这份诏书不许任何人欺负亚美尼亚人，并授予了亚美尼亚地区教堂的自治权。这一信息可以在维基百科的“蒙古帝国”条目中找到来源。
亚美尼亚地区的自治权：海屯一世获得的诏书中明确提到了亚美尼亚地区教堂的自治权，这为亚美尼亚地区的宗教和文化自由提供了保障。
这些诏书和权利对亚美尼亚来说具有重要意义，不仅保护了亚美尼亚人免受外敌的侵扰，还确保了其宗教和文化上的独立性。海屯一世的这次出访被记录在《海屯王中亚记行》中，成为亚美尼亚历史上的重要篇章。