在费米-狄拉克统计中，平均费米子数可以通过费米-狄拉克分布函数来计算。费米-狄拉克分布函数定义为：
[ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + 1} ]
其中：
平均费米子数 ( \langle n \rangle ) 可以通过对所有可能的能量状态 ( E ) 进行积分来计算：
[ \langle n \rangle = \int_{0}^{\infty} g(E) f(E) dE ]
这里 ( g(E) ) 是态密度，它描述了在给定能量 ( E ) 附近单位能量范围内可用状态的数量。对于三维自由费米子气，态密度 ( g(E) ) 可以表示为：
[ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2} ]
将 ( g(E) ) 和 ( f(E) ) 代入 ( \langle n \rangle ) 的积分表达式中，就可以得到平均费米子数的计算公式。这个积分通常需要数值方法来求解，因为它涉及到复杂的数学表达式。在实际应用中，人们会使用计算机程序来计算这个积分，以得到特定条件下的平均费米子数。