马蒙与拜占庭帝国之间的战争对双方的关系产生了深远的影响。根据搜索结果中的信息，我们可以得出以下几点结论：
加剧紧张关系：一些现代史学家认为这场战争一个重要的影响是加剧了罗马与君士坦丁堡的紧张关系[1]。当拜占庭帝国在为抵抗穆斯林而分神时，它已无法再提供曾经给予教皇够强的保护和控制。
内部分裂与混乱：东罗马帝国在1204年失去了君士坦丁堡后，国内陷入分裂及混乱。罗姆苏丹国乘虚而入，吞并小亚细亚西部的地区，直至尼西亚帝国将塞尔柱土耳其人击退[2]。
战争与外交消耗国力：战争与外交消耗了拜占庭帝国的国力，导致国内矛盾不断激化，甚至使拜占庭帝国败亡[3]。
宗教与政治身份的呈现：在正义之战的理念中，拜占庭文献较少强调敌人的宗教信仰，而是着重呈现敌人的族群归属或是政治身份，这与阿拉伯帝国扩张和十字军运动强调打击异教徒的神圣[4]。
雇佣兵控制权的丧失：拜占庭帝国使用雇佣兵的传统承袭自古代希腊罗马时代，12世纪以后拜占庭雇佣兵发展出现重大转折，并最终导致帝国败亡[5]。
与拉丁人关系恶化：前三次十字军东征导致拜占庭人与拉丁人关系恶化，拜占庭人对西方人的仇恨使得西方更加想要征服拜占庭[6]。
综上所述，马蒙与拜占庭帝国的战争不仅加剧了双方的紧张关系，还导致了拜占庭帝国内部的分裂和混乱，消耗了国力，影响了其与拉丁人的关系，并在一定程度上改变了拜占庭帝国的军事和外交政策。这些影响最终导致了拜占庭帝国的衰落和败亡。