巴斯加二世（约翰二世科穆宁）在任内与拜占庭皇帝亚历克塞一世的关系处理主要体现在政治和军事合作上。根据搜索结果，约翰二世与亚历克塞一世共同在位期间（1092年–1118年），他们之间存在政治合作。约翰二世在1118年8月15日至1143年4月8日单独在位，而亚历克塞一世则是他的前任拜占庭皇帝。约翰二世在位期间，他与亚历克塞一世共同面对了多次军事挑战，包括对抗诺曼人和塞尔柱人的威胁。他们之间的关系处理显示了拜占庭帝国在面对外部威胁时的内部团结和合作。尽管存在权力斗争和家族纷争，但在对外政策上，他们展现出了一定程度的合作与协调。这种关系处理有助于拜占庭帝国在动荡时期保持稳定和安全。