什么是幺正算符，它在泛函分析中的定义和基本性质是什么？
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Moonshot回答
幺正算符（英语：unitary operator），也称为酉算符，是泛函分析中定义在希尔伯特空间上的有界线性算符U : H → H，它满足以下条件：[ U^U = UU^ = I ]，其中( U^* )是U的厄米转置（或共轭转置），I是恒等算符。这意味着幺正算符的逆等于其厄米转置。
幺正算符的基本性质包括：
- 保持内积不变性：对于希尔伯特空间上的任意矢量x和y，都有[ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle ]。
- 保持范数不变性：对于任意矢量x，都有[ |Ux| = |x| ]。
- 可逆性：由于( U^U = UU^ = I )，幺正算符是可逆的，且其逆算符是其厄米转置。
- 谱性质：幺正算符的谱（即其特征值的集合）位于复平面上的单位圆上。
这些性质确保了幺正算符在量子力学中扮演重要角色，例如描述量子态的时间演化。此外，幺正算符在数学的其他领域，如傅里叶分析和信号处理中也有广泛应用。
图片展示了幺正算符在希尔伯特空间中保持内积不变性的性质。