参考资料

利用行列式计算两个向量的叉积是一种在三维空间中常用的方法。叉积的结果是一个垂直于原始两个向量的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。

计算两个向量 (\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和 (\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)) 叉积的公式是：

[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} ]

展开这个行列式，我们得到：

[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} ]

计算示例：

假设我们有两个向量 (\vec{a} = (1, 2, 3)) 和 (\vec{b} = (4, 5, 6))，我们想要计算它们的叉积。

根据上述公式，我们有：

[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} ]

展开这个行列式，我们得到：

[ \vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k} ]

[ \vec{a} \times \vec{b} = (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} ]

[ \vec{a} \times \vec{b} = (-3)\mathbf{i} + (6)\mathbf{j} + (-3)\mathbf{k} ]

所以，叉积 (\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3))。

这个计算过程可以通过行列式直观地完成，并且可以很容易地推广到更高维度的向量积计算中。在实际应用中，叉积在物理学中用于计算力矩和角动量，以及在计算机图形学中用于确定表面的法向量。