哈密顿—雅可比方程和条件 \frac {\partial S} {\partial q}=p 构成一个偏微分方程求解问题。. 它的解就是事关作用量的哈密顿主函数，它描述了沿确定轨道 (满足拉格朗日方程)的作用量随时间和位置的变化规律。. 把那个条件放到三维去就是：. \nabla S=p\\. 由于 p 在表示

该方程在我们分析可积性等问题时非常方便，对我们把经典力学的框架推广也有很重要的作用。现在使用这个方程分析两个简单的问题。 第一个是一维自由粒子情况，它的哈密顿量为： H = \frac{p^2}{2m} \\ 则它的哈密顿雅可比方程为：

哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。. [1] 很多光的性质，例如， 衍射 、 干涉 等等，无法用几何

哈密顿—雅可比方程 （hje）是经典 哈密顿量 一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。 与哈密顿运动方程的不同之处在于 hje 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而 哈密顿方程 是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。

哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。

哈密顿—雅可比方程和条件 \frac {\partial S} {\partial q}=p 构成一个偏微分方程求解问题。. 它的解就是事关作用量的哈密顿主函数，它描述了沿确定轨道 (满足拉格朗日方程)的作用量随时间和位置的变化规律。. 把那个条件放到三维去就是：. \nabla S=p\\. 由于 p 在表示