陈嗣庆逐步掌握李朝军事大权的过程如下：
地方势力崛起：陈嗣庆出身于即墨乡（今南定省）的豪族，凭借家族在当地的影响力和军事力量，开始在政治舞台上崭露头角。
控制朝廷：根据维基百科的资料，李惠宗时期（1211─1224年在位），陈嗣庆以武力控制了朝廷，朝政大权遂落入陈氏手中。
掌握军政大权：1223年陈嗣庆死后，其兄陈承继续任辅政太尉，其堂兄弟陈守度则任殿前指挥使，持续掌握军政大权。这显示了陈氏家族在军事和政治上的持续影响力。
政变与权力巩固：陈氏家族通过政变和政治手段逐步巩固了对李朝军事和政治权力的控制，最终导致李朝名存实亡，陈朝的建立。
综上所述，陈嗣庆通过地方势力的崛起、武力控制朝廷、家族成员持续掌握军政大权，以及政变和政治手段逐步掌握了李朝的军事大权。