阿卡德帝国崩溃后，古提人（Gutians）进入并统治美索不达米亚的过程如下：
阿卡德帝国的衰败：阿卡德帝国在内部叛乱和外部压力下逐渐衰弱。根据中国社会科学网的文章，古提人在沙卡里沙时期大规模入侵，导致阿卡德失去对美索不达米亚的控制^1^。
古提人的入侵与统治：古提人是一个来自札格罗斯山区的凶猛游牧民族。他们成功推翻了阿卡德帝国，并接管了美索不达米亚的政局。根据世界历史百科全书的描述，库提部落成功地推翻了阿卡德帝国并接管了美索不达米亚的政局^2^。
统治的不稳定性：尽管古提人取得了统治权，但他们的统治并不稳固。这为苏美尔城邦的短暂复兴提供了机会。根据百度百科的资料，蛮族库提人摧毁了阿卡德王国，但他们的统治并不稳固，使得各苏美尔城邦得以短暂复兴^3^。
被驱逐：最终，古提人被乌鲁克城邦的国王乌图赫加尔（Utu-hengal）领导的联军所驱逐。根据维基百科的资料，前2120年，乌图西加尔成功复兴，他在南方盟友的帮助下将古提人驱逐出苏美尔，并俘获古提人的末代君主梯里根^4^。
综上所述，古提人是在阿卡德帝国衰败后，通过大规模入侵和战争推翻了阿卡德帝国，短暂地统治了美索不达米亚，但由于统治不稳定，最终被苏美尔城邦联军驱逐。