通过泰勒级数展开证明低速度下的动能表达式与经典力学的一致性，我们可以从相对论动能公式出发。相对论动能公式为 (E_k = (\gamma - 1)mc^2)，其中 (\gamma) 是洛伦兹因子，定义为 (\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}})。在低速度（(v \ll c)）情况下，我们可以将洛伦兹因子 (\gamma) 通过泰勒级数展开来近似。

泰勒级数展开的一般形式为： [ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots ]

将 (\gamma) 在 (v=0) 处进行泰勒展开，我们得到： [ \gamma = 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots ]

将这个展开式代入相对论动能公式，我们得到： [ E_k = \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots - 1\right)mc^2 ] [ E_k = \left(\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots\right)mc^2 ]

在低速度极限下，高阶项（如 (v^4) 项）可以忽略，因此我们得到： [ E_k \approx \frac{1}{2}mv^2 ]

这正是经典力学中的动能表达式。因此，通过泰勒级数展开，我们证明了在低速度极限下，相对论动能表达式与经典力学的动能表达式是一致的。这一证明过程展示了物理理论在不同速度极限下的平滑过渡和统一性。来源