映射连续用于描述映射在定义域和值域之间的平滑性和一致性, 若为实数, 则连续映射为连续函数. 设 (X, d 1 ), (Y, d 2 ) 均为度量空间, A ⊆ X, f: A → Y 为映射. 设 a 0 ∈ A, 如果任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 a ∈ A 且 d 1 (a, a 0 ) < δ 时, d 2 (f (a), f (a 0 ) < ε, 则称 f 在 a 0 处 ...

这是度量空间中连续函数一开始为人所知时的定义. 度量空间之间的连续映射并不能保持度量, 我们可以定义更强的映射要求. 定义 5.2.0.3 (等距嵌入). 若度量函数之间的连续函数 f: X → Y 满足 ∀x,y ∈ X (dX (x,y) = dY (f (x),f (y))), 则称 f 是一个等距嵌入. 在度量空间中 ...

本文介绍度量空间中特有的一些连续性更强的函数(比如一致连续), 同时基于度量给出距离函数等概念. 本节目录. 更强的连续映射; 直径和距离; 系列目录; 更强的连续映射. 这里默认给定了一个度量空间到度量空间的连续映射 f:(X,d)\rightarrow (Y,\rho).

度量空间之间的连续映射并不能保持度量, 我们可以定义更强的映射要求. ... 定理 5.2.0.7. 度量空间紧致当且仅当完备且完全有界. 证明. 紧致则完全有界是显然的, 注意度量空间紧致则列紧, 进而 Cauchy 列必有收敛子列, 进而 Cauchy 列必收敛, 因此紧致也推出完备 ...

2.1 映射的连续性. 在度量空间中，通过 \delta-\varepsilon 语言可以定义点列的极限，通过点列的收敛性定义函数的连续性。. 同样地，拓扑空间上的映射也有连续性的概念，但定义方式有所区别。. 之所以不用点列收敛的方式定义连续性，这里不再赘述，许多书上都 ...

这无非把R 的极限推广到一般度量空间的极限。同理，我们也可以定义一般度量 空间的连续性。 定义1.5. 设(X,ρX), (Y,ρY) 为度量空间，f: X ! Y 为映射。 1. 若对于在X 中收敛到x0 的任何点列fxng，像点列ff(xn)g 都收敛到Y 中的点 f(x0)，则我们说映射f 在x0 2 X 处是连续的 ...