卡洛曼通过宗教改革巩固加洛林家族地位的方式主要体现在以下几个方面：
强化基督教教义的统一：加洛林王朝通过宗教改革，强制统一基督教教义，这有助于加强中央集权，并巩固加洛林家族的统治地位。来源
促进文化艺术的发展：加洛林王朝鼓励文化艺术的创作和发展，促进了文化的繁荣，这也间接加强了加洛林家族的政治影响力。来源
全面改革：查理曼在其统治中后期，对治下基督徒的信仰生活、宗教教育、行为规范、法律、制度与教会体制进行了全面改革，开启了“加洛林革新”的历史变革，这进一步巩固了加洛林家族的地位。来源
特选民族观念的推广：加洛林时代通过特定圣经经文的阐发，推广了特选民族观念，这有助于加洛林家族构建以“神命君主-基督之民”为基本结构的基督教政治，从而巩固其统治。来源
政教关系的变革：加洛林时期，罗马教宗的选任制度历经三次法理上的变革，这表明加洛林家族在教会事务中具有重要影响力，有助于巩固其政治地位。来源
综上所述，卡洛曼通过宗教改革在教义统一、文化推广、全面社会改革、特选民族观念的构建以及政教关系变革等方面巩固了加洛林家族的地位。