参考资料

2005年，有论文 [1] 发现当x与p不是辛形式的时候，尤其演化中存在几何相位，流体密度将可能被压缩。. 刘维尔方程对平衡与非平衡系统都成立。这是非平衡统计力学的基本方程。它对碰撞系统的逼近称为玻尔兹曼方程。; 刘维尔方程积分变为涨落定理的证明，由此可推出热力学第二定律。

玻尔兹曼方程 或 玻尔兹曼输运方程 （Boltzmann transport equation， BTE）是由 玻尔兹曼 于1872年提出的一个方程，用于描述非 平衡 状态 热力学系统 的统计行为 [ 2 ]。. 具有 溫度梯度 的 流体 即为这类系统的一个经典的例子：构成流体的微粒在系统中通过随机而具有

I.玻尔兹曼方程. 在相空间运用连续性定理： \frac\partial{\partial t}f=-\bar\nabla\cdot(f\vec u)\\ 式中 \bar\nabla 是在相空间中的nabla算子； \begin{align}\vec u=\dot{\vec{\frak r}}=\sum{\dot x_i\hat x_i}+\sum{\dot v_i\hat v_i}\end{align} 是相空间中速度。 在通常的情形中，都有 \begin{align}\frac{\partial\vec u}{\partial\vec{\frak r}}=0\end{align} 。