库曼人在13世纪蒙古西侵后选择逃往匈牙利寻求庇护的原因主要有以下几点：
蒙古的持续压迫：根据网易新闻的文章《库曼汗国》[1]和澎湃新闻的文章《库曼人：影响力保持至今的东欧半游牧集团》[2]，由于蒙古人的持续压迫，库曼人不得不离开他们的传统居住地，寻找新的避难所。
首领忽滩汗的领导：在首领忽滩汗的带领下，多达7个部落的库曼人加入了逃难的人群，总计约5-7万人（也有4万人的说法）[1][2]。这显示了库曼人有组织、有领导的集体行动。
匈牙利王国的庇护：库曼人逃到匈牙利王国寻求庇护，这可能是因为匈牙利王国在当时是一个相对强大且稳定的国家，能够提供必要的保护和支持[3]。
文化和宗教的联系：库曼人与匈牙利王国之间可能存在某种文化和宗教上的联系，这使得匈牙利成为库曼人寻求庇护的一个合适选择。
生存和安全的需要：腾讯新闻的文章《克雷森布伦之战：匈牙利王国军队的痛苦转型》[4]提到，库曼人逃往欧洲中部避难是为了逃避蒙古征服，携家带口的迁徙。他们愿意为收留自己的君主当兵，这表明他们寻求庇护的同时也是为了生存和安全的需要。
综上所述，库曼人在13世纪蒙古西侵后选择逃往匈牙利寻求庇护，主要是由于蒙古的持续压迫、首领忽滩汗的领导、匈牙利王国的庇护能力、文化和宗教的联系以及生存和安全的需要。这些因素共同促使库曼人做出了这一历史性的决定。