广西宣布独立后，陆荣廷作为桂系军阀的领导人，采取了以下军事行动：
广西独立与陆荣廷的行动：1911年，广西宣告“独立”后，陆荣廷被推为副都督，旋任都督，罗致旧军人，形成桂系军阀[1]。陆荣廷在广西独立后，通过罗致旧军人，巩固和扩大了自己的军事力量。
对抗广东：陆荣廷丧失对广东的支配后，在北京政府的支援下，准备再进攻广东。1921年6月，陈炯明接受孙文的“援桂”指示，率粤军进攻广西省，第二次粤桂战争爆发。7月，陆荣廷的心腹林俊廷战败，陆荣廷被迫退出南宁[2]。
与孙中山的冲突：孙中山要求陆荣廷、谭浩明、陈炳焜必须一律解除兵权，完全由广西人民自主，方可和谈。粤军对梧州采取包围形势，桂军师长刘震寰乃通电独立，与陆荣廷脱离关系[3]。
与北洋政府的合作：陆荣廷与北洋政府合作，对抗孙中山的势力。1921年5月5日，孙中山在广州就任中华民国政府非常大总统，北洋军阀政府大总统徐世昌唆使桂系军阀陆荣廷出兵扰乱广东[4]。
军事失败与退位：陆荣廷在与孙中山势力的冲突中逐渐失去优势，最终在1921年被迫退出南宁，其后势力被逐渐削弱，最终失去了对广西的控制[2]。
以上信息综合了多个来源，包括维基百科和中国新闻网等，提供了陆荣廷在广西宣布独立后的主要军事行动和政治活动。