教宗亚历山大三世在与神圣罗马帝国皇帝腓特烈一世的斗争中取得胜利的过程是复杂而曲折的。根据搜索结果，以下是一些关键点：
教宗与皇帝的冲突：腓特烈一世支持一位少数派候选人反对教宗亚历山大三世，这导致了两者之间的冲突[1]。亚历山大三世与诺曼人和北意大利各邦结盟，力图确立独立于帝国之外的教皇统治[7]。
叙任权斗争：这场斗争是西欧中世纪一系列重大冲突事件，矛盾双方为教会和世俗君主[2]。
卡诺莎之辱：腓特烈一世在第五次远征意大利时大败，身负重伤，只好投降。1177年，腓特烈一世与亚历山大三世签订《威尼斯和约》，腓特烈一世承认亚历山大三世为合法的教宗，并依照惯例扶教宗上马[3]。
和约与权力的平衡：到了1183年，双方正式签订《康士坦斯和约》，保证意大利各城邦的独立，这标志着教宗亚历山大三世在与腓特烈一世的斗争中取得了胜利[12]。
综上所述，教宗亚历山大三世通过与北意大利城邦和诺曼人的结盟、坚持叙任权斗争、以及最终与腓特烈一世签订和约，确立了自己的权威和独立性，从而在与神圣罗马帝国皇帝腓特烈一世的斗争中取得了胜利。这场斗争不仅涉及宗教权力与世俗权力的较量，也是中世纪欧洲政治格局中的一个重要事件。