参考资料

阿莱克修斯一世在特拉比松建立自己的帝国的过程如下：

1. 背景：阿莱克修斯一世是拜占庭帝国科穆宁王朝的成员，是1185年被杀的皇帝安德洛尼卡一世的后代。来源

2. 夺取特拉比松：1204年，在第四次十字军东征攻破君士坦丁堡前夕，阿莱克修斯·科穆宁和大卫·科穆宁兄弟依靠姑母、格鲁吉亚王后塔马尔的军事经济支援，夺取了特拉比松地区并建立了特拉比松帝国。来源

3. 合法性宣称：由于阿莱克修斯一世是拜占庭科穆宁王朝的合法继承人之一，因此特拉比松帝国宣称自己是拜占庭帝国的继承者。来源

4. 建立帝国：阿莱克修斯一世以特拉比松为基地，建立了特拉比松帝国，并持续抵抗外敌，保持了拜占庭帝国的一部分文化和政治遗产。来源

综上所述，阿莱克修斯一世利用家族背景、军事支援和合法性宣称，在特拉比松地区建立了自己的帝国，成为拜占庭帝国崩溃后的一个重要继承者。