文艺复兴时期的人文主义者在中世纪伊斯兰世界的影响下发展其思想主要体现在以下几个方面：

1. 知识的传播与翻译：中世纪伊斯兰世界在保存和翻译古希腊罗马文献方面发挥了重要作用。许多欧洲学者通过阿拉伯文译本重新接触到古希腊罗马的哲学和科学知识，这对文艺复兴时期的人文主义者的思想发展产生了重要影响。如中国中东研究网所述，这些思想对西欧中世纪逻辑思想的发展曾产生过重大的影响¹²。

2. 科学与哲学的影响：伊斯兰黄金时代在科学和哲学上的成就对文艺复兴时期的欧洲产生了影响。伽利略、罗吉尔·培根、霍布斯、笛卡儿、弗朗西斯·培根等欧洲哲学家和科学家，都受到阿拉伯哲学中唯物主义思想的影响³。

3. 人文主义精神的兴起：文艺复兴时期的人文主义者强调以人为本的人文主义精神，主张个性解放和理性思考。这种思想在一定程度上受到了伊斯兰世界的影响，尤其是在对人类和世界多样性的认知和理解方面⁴。

4. 宗教改革与思想自由：文艺复兴时期的宗教改革运动，如北欧的路德和加尔文领衔的宗教改革，并非仅仅是宗教解放和思想自由的追求，而是要重建在宗教框架下的社会秩序。这种改革在某种程度上受到了伊斯兰世界宗教与政治关系的影响⁵。

5. 对异域文化的认知：文艺复兴时期的人文主义者强调以一种冷静自持的态度对待异域文化，深化对人类和世界多样性的认知和理解。这种思想对当时旅行者观察和书写异域的方式产生了影响⁶。

综上所述，文艺复兴时期的人文主义者在中世纪伊斯兰世界的影响下，通过知识的传播与翻译、科学与哲学的影响、人文主义精神的兴起、宗教改革与思想自由以及对异域文化的认知等方面发展了其思想。这些影响促进了欧洲从中世纪向现代的过渡，并为现代欧洲文明的形成奠定了基础。