我們可以定義黎曼流形為和R n 的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从R n 导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生

黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。 它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。 每个R n 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R n 的点积都限制于切空间内。 。实际上，根据纳什嵌入定理

黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。 它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。 每个R n 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R n 的点积都限制于切空间内。 。实际上，根据纳什嵌入定理

洛伦兹流形由四维时空坐标组成，包括三个空间坐标和一个时间坐标。它的度量定义了距离和时间的关系，使我们能够描述物体的运动和相对性质。与欧几里德空间不同，洛伦兹流形中的直线可能是弯曲或弯曲的轨迹，这种弯曲性质是相对论的基础。

任意洛伦兹流形（可能是弯曲的）的因果结构由于曲率的存在会较为复杂。 对于这些流形中的因果结构的讨论就得从有邻点对的 光滑 曲线 的角度来描述：首先讨论曲线 切向量 的各种情况，然后给出因果关系的定义。

流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，流形的定义体现了坐标系是局部的,并限制了这些局部范围内坐标允许的变换， 一个表面是一个二维流形，时空是一个四维流形，经典力学空间和广义相对论所用时空都是流形，$$黎曼流形具有正定的量度，即 ds^2 始终为

这里先说说黎曼几何和其他的集合有什么区别： 空间类型 ... 的一个流形，因此闵可夫斯基时空是满足四维时空下(n=4)的一个洛伦兹流形，而洛伦兹流形属于伪黎曼流形的一种，接下来将闵可夫斯基时空的度规张量在伪黎曼流形中表示成伪黎曼度规，

它的度规张量有号差。一般的弯曲的闵可夫斯基空间，叫做洛伦兹流形，就是流形上面加一个洛伦兹度规。 黎曼流形是一般的弯曲欧式空间，它上面的度规是正定的，也就是没有号差的。 罗氏几何是常负曲率的黎曼几何。

黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。 它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。 每个R n 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R n 的点积都限制于切空间内。 。实际上，根据纳什嵌入定理