札剌亦兒王朝在帖木儿帝国和黑羊王朝的夹缝中生存并最终灭亡的过程如下：
生存策略：札剌亦兒王朝作为蒙古伊儿汗国解体后的小汗国，曾经与黑羊王朝一起抵抗帖木儿帝国的扩张。来源 他们通过与黑羊王朝的联盟，共同对抗帖木儿帝国的侵略，这种策略使他们得以在强敌之间保持一定的独立性。
帖木儿死后的复国：在帖木儿去世后，札剌亦兒王朝曾一度复国，试图恢复其势力。来源 然而，他们很快又与黑羊王朝发生了争端。
最终灭亡：由于与黑羊王朝的持续冲突，札剌亦兒王朝最终在1430年代被黑羊王朝并入，从而结束了其作为一个独立政权的存在。来源
札剌亦兒王朝的生存和灭亡是中亚历史上的一个缩影，反映了当时地区势力之间的复杂关系和权力斗争。尽管他们一度成功地在强敌之间生存，但最终还是未能逃脱被更强大的邻国所吞并的命运。