向量外积的几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是 法向量 ，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z

注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 ，可以发现外积的几何意义是： 是以 为邻边的平行四边形的面积。 代数定义. 在三维欧氏空间 下，定义向量 的外积为一个向量 ，记作 ，其结果可以使用三阶行列式表示：

我们得到的结论无论是在代数方面还是在几何方面都是完美的。本文提出了两个与矩阵有关的定理，使我们能够解释高维空间中向量的外积的几何意义。外积的长度表示由这 向量张成的平行多面体 维的体积，外积的每个分量的绝对值表示体积在不同方向上的分量。

对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积： 记 ，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 平面，原本的坐标 和 变为 和 。 那么两个向量的外积为 ，因此平行四边形的面积为 ，可以视为二阶行列式

如果以向量 \vec a 和 \vec b 为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积 ... 而平行四边形面积等于：2倍 oaq 面积加 2倍 obq 面积 再加 蓝色矩形面积。因为 aq 为1三角形的底等于 x_1-x_2 ， y_1 三角形的高；bq 为2三角形的底等于 y_2-y_1 ， x_2

我们知道，这个有向的平行四边形面积一般称为外积。外（exterior）是一个在微分几何中很常见的概念，将来会具体谈。 作为余面积的内积. 进一步，我们认为夹角 \theta 决定了投影 \sin\theta ，它把两向量的矩形面积（两向量间任意夹角的最大可能面积）投影为