民国初期的司法制度演变为四级三审制的过程如下：
清末法制改革：晚清时期，中国开始进行法制改革，仿效日本建立了四级三审制的司法体系。这一制度在中央设立最高法院，在地方设立高等法院、地方法院以及在不设地方法院的县设立司法处，形成了“四级”；而“三审”则指同一案件可以经过三级法院审判。
北洋政府沿用：民国成立后，北洋政府继续沿用了清末的四级三审制。这一制度在初期被保留下来，作为司法体系的基础。
南京国民政府的改革：南京国民政府成立初期，继续沿用北洋政府的四级三审制。但到了1932年，南京国民政府公布《法院组织法》，废除了名义上的四级三审制，改为三级三审制。这一改变是考虑到中国的国情，同时也是追随当时各国法院体制改革的新潮流。
司法独立与审级制度：在民国时期，法院的审级制度经历了从四级三审制到三级三审制的转变，这一过程中，司法独立的理念逐渐得到重视和发展。
综上所述，民国初期的司法制度从清末的法制改革开始，经过北洋政府的沿用，最终在南京国民政府时期完成了从四级三审制到三级三审制的转变。这一演变过程体现了中国司法体系在近代化过程中的逐步发展和完善。