参考资料

在哈密顿力学中，对于哈密顿量不显含时间的物理系统，广义坐标 ( q ) 和广义动量 ( p ) 的定义如下：

1. 广义坐标 ( q )：这些是描述系统配置的独立变量，它们不直接包含时间。广义坐标的选择具有一定的自由度，可以是笛卡尔坐标、极坐标或其他任何方便描述系统运动的坐标。

2. 广义动量 ( p )：广义动量定义为广义坐标相对于时间的偏导数的负值乘以拉格朗日量 ( L )，即 ( p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} )。在哈密顿力学中，广义动量也可以通过哈密顿量 ( H ) 来定义，即 ( p_i = \frac{\partial H}{\partial \dot{q}_i} )。

对于哈密顿量不显含时间的系统，哈密顿量本身是一个守恒量，通常对应于系统的能量。在这种情况下，可以定义哈密顿特征函数 ( W )，它等于从固定点到变量点的广义动量 ( p ) 与广义坐标 ( q ) 的积分，即 ( W = \int \sum_\alpha p_\alpha , dq_\alpha )。这个特征函数有助于简化系统的动力学方程，因为它允许我们用能量和其他守恒量来表达系统的状态。

此外，如果哈密顿量不显含时间，那么广义坐标和广义动量之间存在正则变换，这种变换可以简化哈密顿方程，使其更容易求解。在某些情况下，这种变换可以使哈密顿量从含时变为不含时，或者减少哈密顿量中显含的坐标数量。

图片展示了广义坐标和广义动量之间的关系。