伊儿汗国是在蒙古帝国西征时期建立的，具体过程如下：
旭烈兀的西征：伊儿汗国的建立者是成吉思汗第四子拖雷的第六个儿子旭烈兀。1252年，蒙古大汗蒙哥命旭烈兀出征西亚，这是蒙古帝国的第三次西征，也是最后一次[1]。旭烈兀的军队在1256年摧毁了阿拔斯王朝，随后在西亚地区建立了统治[2]。
获得忽必烈的支持：旭烈兀宣布承认忽必烈的汗位，以换取忽必烈支持他建立伊儿汗国。伊儿汗国是唯一承认忽必烈大汗之位的汗国[3]。
独立发展：旭烈兀放弃返回蒙古本土的打算，决定在波斯立足并谋求独立发展。这样，旭烈兀经营善后，在波斯创立了一个新的蒙古汗国，这就是伊儿汗国[4]。
蒙古帝国的政治格局：伊儿汗国是蒙古帝国分裂后的四大汗国之一，与元朝统治者同为拖雷后裔，关系较其他汗国更为密切[5]。
对西亚的影响：伊儿汗国的建立对西亚地区产生了深远影响，特别是在商业和城市发展方面。伊儿汗国前期（1253～1295年）城市兴起，工商业发展迅猛，伊斯兰教的科学文化事业蒸蒸日上[6]。
综上所述，伊儿汗国的建立是蒙古帝国西征的直接结果，其建立过程与旭烈兀的军事征服、对忽必烈的政治承认以及在西亚地区的独立发展密切相关。伊儿汗国的建立标志着蒙古帝国对西亚地区的统治和影响的开始。
[1] 蒙古的“波斯帝国”——伊儿汗国史话 [2] 伊儿汗国- 维基百科，自由的百科全书 [3] 蒙古四大汗国- 维基百科 [4] 伊儿汗国- 维基百科，自由的百科全书 [5] 史海回眸：历史上的蒙古帝国和俄罗斯帝国_新浪军事 [6] 文献检索 - 湘知云·湖南省知识服务平台