不伦瑞克伯国从萨克森公国中独立出来的历史过程是复杂的。根据搜索结果，以下是一些关键点：
不伦瑞克-吕讷堡公国的形成：1430年左右，不伦瑞克得以从被削弱的公爵手中脱离出来成为一个自由城市。不伦瑞克-沃尔芬比特尔的公爵（其头衔依然是不伦瑞克-吕讷堡公爵）将其首都迁移，这标志着不伦瑞克开始作为一个独立的政治实体存在[1]。
神圣罗马帝国的组成：不伦瑞克-沃尔芬比特尔公国作为独立的不伦瑞克公国存在，其国祚持续到1918年[2]。
萨克森公国的变迁：在“狮子”亨利时期，他只保留了萨克森公国的一部分，即不伦瑞克地区，这个地区后来逐步演变扩大为汉诺威王国[7]。
不伦瑞克的教会独立：到1671年为止，不伦瑞克的教会独立，从1671年开始它属于公国教会（后来州教会）[4]。
这些历史事件表明，不伦瑞克伯国的独立是一个逐渐发展的过程，涉及政治、宗教和社会结构的变迁。不伦瑞克最终从萨克森公国中独立出来，成为一个独立的政治实体。