阿基米德利用质心和杠杆定律计算几何图形的面积和体积的方法主要体现在以下几个方面：
穷竭法：阿基米德使用穷竭法计算面积和体积，这种方法在一定程度上可视为微积分思想的滥觞。他通过将复杂的几何图形分解成许多微小的元素，然后通过比较这些元素与已知图形的元素来计算面积和体积。
杠杆原理：阿基米德利用杠杆原理来比较不同图形的面积和体积。他将已知总质量和质心的图形的面积或体积与另一个未知图形的面积或体积进行比较，通过建立杠杆平衡来求解未知图形的面积或体积。
微积分思想：在《方法论》中，阿基米德用杠杆原理和微积分思想推导球的体积。他将球体分割成许多薄片，然后计算每个薄片的体积，并将这些体积相加得到整个球体的体积。
重心研究：阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理，并提出了精确地确定物体重心的方法。他指出在物体的重心处支起来，就能使物体保持平衡。
几何图形的平衡：在《论平面图形的平衡》中，阿基米德研究了平面图形的平衡问题，这也是他利用质心和杠杆定律计算几何图形面积和体积的一种方法。
通过这些方法，阿基米德求得了抛物线弓形、螺线、圆形的面积和体积以及椭球体、抛物面体等复杂几何体的体积。他的工作为后来的微积分和几何学的发展奠定了基础。