罗马帝国在其鼎盛时期维持庞大疆域稳定的行政管理体系主要体现在以下几个方面：
行省制度：罗马帝国将征服的地区划分为行省，每个行省都由罗马中央政府任命的总督管理。这种制度使得中央对地方有了直接的控制，同时一些富饶的行省被要求向罗马提供资源和财富，以维持帝国的庞大体系。这种财政上的调整加强了行省之间的经济联系，促进了帝国内部的贸易和繁荣[1]。
军事改革：奥古斯都时期，罗马帝国改革军事，建立了常备军团和近卫军，增强了军事力量，这有助于维护帝国的稳定和安全[2]。
内阁制度：设立内阁协助皇帝处理政务，提高了行政效率[2]。
财政管理：创办“国税局”总揽财政权，确保帝国财政的稳定[2]。
行政区划：重整行政区划，划分元老院行省与皇帝行省，明确管理职责[2]。
地方自治：由于官僚体系的缺乏，罗马帝国在一定程度上依赖地方自治。在罗马势力不易渗透和控制的地方，地方自治政府以藩属王国的形式出现，地方统治者对罗马保持友好[3]。
基础设施建设：罗马帝国建立了广泛的道路系统，这不仅有助于军事行动，也促进了行政管理和后勤供给的效率[4]。
这些措施共同作用，使得罗马帝国能够有效地管理其庞大的疆域，并维持了相对的稳定。然而，随着时间的推移，行政管理和后勤供给的压力增大，最终导致了罗马帝国的衰落[4]。
[1] 罗马行省制度概况 [2] 罗马帝国 - 百度百科 [3] 大帝国与小政府：罗马帝国鼎盛时期的治理 [4] 罗马帝国衰落的8个原因 - 界面新闻