一维和二维Ising模型的主要区别在于相变行为和解的复杂性。
一维Ising模型是最简单的铁磁-顺磁相变模型,不存在非零温度下的相变,仅在T=0时存在完全有序态。这意味着在任何非零温度下,一维Ising模型的自旋不会表现出长程有序性,也就是说,它们不会形成统一的磁化方向。一维Ising模型的解析解是已知的,并且相对简单。
相比之下,二维Ising模型在热力学极限下,从没有奇异性的哈密顿量出发,其热力学函数在临界点附近呈现出奇异性。二维Ising模型的严格解较为复杂,由Lars Onsager在1944年得到,即Onsager解。二维Ising模型在没有外磁场时存在相变,临界温度约为2.27J/kT(其中J是相邻自旋之间的相互作用能量,k是玻尔兹曼常数,T是温度)。在临界点以下,二维Ising模型表现出长程有序性,即所有自旋倾向于指向同一方向,形成铁磁性状态。而在临界点以上,自旋的取向变得随机,形成顺磁性状态。
总的来说,一维Ising模型由于其简单性,没有相变,而二维Ising模型则表现出复杂的相变行为,并且其解析解的获得是统计物理领域的一个重大成就。这些区别使得二维Ising模型成为研究相变和临界现象的重要模型。
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