付家老在分家和本家之间起到了承上启下、维护家族传统和秩序的作用。根据搜索结果，我们可以了解到以下几点：
家庭传延和代际更替：分家是家庭的传延过程，也是家庭的代际更替方式。[宋元时期]分家：传家的过程和方式 - 中国经济史论坛（http://economy.guoxue.com/?p=554）。
家庭结构模式：介于直系血缘关系和旁系血缘关系之间，存在以直系血缘关系为主，稍稍扩展到旁系的家庭结构模式，即同一个祖父或曾祖父的所有家庭。[宋元时期]特殊的同居大家庭——《中国家庭史》第三卷第一章第三节（http://economy.guoxue.com/?p=550）。
家族关系和影响：付家老作为家族中的长辈或权威人物，可能在家族内部的事务中起到协调和决策的作用，尤其是在分家过程中，他们的意见和决策对家族成员具有重要影响。
维护家族传统和秩序：付家老可能负责维护家族的传统和秩序，确保家族成员遵守家族规定和习俗，同时也可能在家族成员间发生纠纷时起到调解的作用。
综上所述，付家老在分家和本家之间扮演着重要的角色，他们不仅是家族传统的守护者，也是家族秩序的维护者，同时在家族成员间的协调和决策中发挥着关键作用。