许蕾姆苏丹在奥斯曼帝国的政治舞台上发挥影响力的方式主要包括以下几点：
个人魅力和智慧：许蕾姆苏丹以其个人魅力和高超的政治智慧对苏丹和帝国政治产生了很大影响。百度百科提到她成功操纵了苏丹王位的继承，并影响了帝国数百年的历史。
后宫政治：许蕾姆苏丹不仅在后宫有很大的影响力，还积极参与苏莱曼大帝的政治生活。维基百科提到她最疼爱的儿子巴耶济德因争位被同母兄弟塞利姆皇子杀死，塞利姆皇子在苏莱曼大帝去世后继位成为苏丹。
开创先例：许蕾姆苏丹建立了新的后宫，并开创了后妃入住大萨拉基里奥宫的先例。百度百科指出她设法让她和苏莱曼的女婿鲁斯坦帕夏（Rustem Pasha）在政治上获得重要地位。
影响政策和决策：许蕾姆苏丹通过她的影响力，对苏丹的政策和决策产生了影响。澎湃新闻提到，在女性地位低下的奥斯曼帝国时代，许蕾姆苏丹成为了一个例外，她开启了后宫政治时代。
综上所述，许蕾姆苏丹通过个人魅力、智慧以及在后宫和政治上的活跃参与，在奥斯曼帝国的政治舞台上发挥了显著的影响力。