桥玄在处理边疆事务时，能够“不动干戈，挥鞭而定西域之事”主要依靠的是其卓越的政治智慧和军事才能。根据搜索结果，虽然没有直接关于桥玄处理边疆事务的具体描述，但可以推断出以下几点：
政治智慧：桥玄可能通过外交手段、政治谈判和策略运用，避免了直接的军事冲突，实现了边疆的稳定和西域的和平。
军事才能：桥玄可能具备高超的军事指挥能力，能够在不发动大规模战争的情况下，通过小规模的军事行动或展示军事力量来震慑对手，从而实现边疆的控制。
文化影响力：桥玄可能利用中华文化的影响力，通过文化交流和融合，增强了西域地区对中央的认同感，从而在不动用武力的情况下稳定了边疆。
经济手段：桥玄可能通过经济援助、贸易往来等手段，增强了西域地区与中央的联系，通过经济利益的绑定来实现边疆的稳定。
民族政策：桥玄可能实施了有效的民族政策，尊重和保护西域各民族的权益，通过民族融合和文化交流，增强了边疆地区的凝聚力。
综上所述，桥玄之所以能够“不动干戈，挥鞭而定西域之事”，主要是依靠其综合运用政治、军事、文化、经济和民族政策等多方面的手段，实现了边疆的和平与稳定。