查普曼去世后，阿森纳足球俱乐部通过以下几个方面继续保持竞争力：
延续查普曼的战术和训练理念：查普曼在任期间为阿森纳带来了现代化的足球风格和战术体系，他的这些理念在去世后被继承和发扬光大。阿森纳足球俱乐部历史(1886年至1966年) - 维基百科
赢得多项主要锦标：在1930年代，阿森纳在查普曼去世后仍然赢得了5次联赛冠军和2次足总杯冠军，显示了球队的竞争力。阿森纳足球俱乐部- 维基百科
第二次世界大战期间的贡献：阿森纳俱乐部管理层在第二次世界大战期间响应国家号召，将主场海布里球场用于国家需要，展现了俱乐部的社会责任感。详谈阿森纳战后四十年的发展轨迹：低谷之后是队史首个双冠赛季 - 搜狐
战后重建和持续发展：战后，阿森纳继续在顶级联赛中保持竞争力，并在2017年赢得了欧联杯冠军。伦敦与曼彻斯特之争：阿森纳和曼联的火药味较量-24直播网 - NBA直播
综上所述，查普曼去世后，阿森纳通过延续其战术理念、赢得重要锦标、在战争期间展现社会责任感以及战后重建和持续发展，成功地保持了其在足球界的竞争力。