启蒙时代的文人共和国通过书信往来实现跨国交流的方式主要体现在以下几个方面：
思想交流与传播：启蒙时代的文人通过书信分享和讨论各自的思想和理论，促进了不同国家间的思想交流。例如，通过书信往来，启蒙思想家们可以分享他们关于自由、自治、自尊和权利思想等观点[1]。
学术合作：书信作为一种通信方式，使得不同国家的学者能够就共同的研究主题进行合作和讨论，推动了学术研究的发展。如中美汉学家之间的书信往来，促进了学术合作和文化交流[5]。
文化互动：书信往来不仅是思想和学术的交流，也是文化互动的一种方式。通过书信，文人可以了解不同国家的文化、习俗和社会状况，增进相互了解和尊重[7]。
政治影响：书信还作为一种政治工具，启蒙时代的文人通过书信影响政治决策和推动社会改革。例如，他们通过书信向政治领袖提出建议和批评，推动社会进步[1]。
个人关系建立：书信往来帮助文人之间建立起个人关系，这些关系超越了国界，形成了一个跨国的知识分子网络。这种网络促进了信息的流通和思想的传播[8]。
综上所述，书信往来在启蒙时代的文人共和国中扮演了重要的角色，它不仅是信息和思想交流的渠道，也是文化和学术合作的桥梁，对推动启蒙运动和现代思想的发展起到了关键作用。