高句丽在668年被唐朝和新罗联手攻克的过程如下：
联盟形成：新罗与唐朝结成联盟，共同对抗百济和高句丽。660年，新罗联合唐朝攻灭百济，为后续攻灭高句丽打下基础。来源：维基百科
军事行动：唐军在收集尸骨时，拆毁了高句丽为纪念对隋战争胜利而建的“京观”，表明了唐帝收复朝鲜半岛北部的意图。来源：澎湃新闻
内部纷争与饥荒：高句丽由于内部纷争，长年饥荒和唐与新罗南北联合攻击下最终灭亡。来源：全知识
最终攻克：公元668年，唐军在第五纵队的帮助下攻克了平壤城，享国700余年的高句丽宣告灭亡。来源：搜狐
战后安排：高句丽被灭后，唐分其境为九都督府、四十二州、一百县，并于平壤设安东都护府以统之。来源：全知识
综上所述，高句丽的灭亡是唐朝和新罗长期军事合作的结果，加之高句丽内部的纷争和饥荒，最终导致其在668年被唐朝和新罗联军攻克。